martes, 17 de diciembre de 2013

¡FELICES FIESTAS!

Este año he preparado una postal animada con GeoGebra para desearos a todos que paséis unas fiestas estupendas...
Espero que os guste (dadle al botón de START para que comience la animación).

martes, 10 de diciembre de 2013

CURVAS CÍCLICAS O DE RODADURA

Las curvas cíclicas o de rodadura representan la trayectoria de un punto de una circunferencia (llamada RULETA), que rueda sin resbalar, sobre una recta u otra circunferencia (BASE O DIRECTRIZ).
Suelen utilizarse en mecánica (engranajes) y poseen interesantes propiedades que os gustará conocer (al menos eso creo).


Aquí tenéis una estupenda presentación en la que podéis ver las características de cada una de dichas curvas, así como su construcción.


CICLOIDE
Es una curva plana, lugar geométrico de las distintas posiciones de un punto móvil contenido en una circunferencia.
La CICLOIDE puede ser normal si el punto que se desplaza es uno de los de la circunferencia, acortada si es un punto interior y alargada si es exterior.
Trazaremos la recta base o directriz tangente a la circunferencia ruleta o generatiz.
Ese punto de tangencia determina la posición inicial del punto móvil.
La directriz debe tener la medida de la rectificación de la circunferencia.
Por si no recordáis como hacerlo os dejo dos enlaces a dos vídeos:


-Método de Arquímedes.
-Rectificación de la semicircunferencia. (No olvidéis multiplicar la medida resultante por dos).


Debemos dividir después la circunferencia  y el segmento en el mismo número de partes iguales. (Es importante saber que  el número de partes va a determinar la precisión con la que tracemos la curva).
Ocho partes puede ser un número adecuado. En el caso de la circunferencia realizaría la construcción para inscribir en ella un octógono cuyos vértices determinarían las distintas posiciones del punto en su desplazamiento, es decir al rodar.
Aquí tenéis la construcción en formato MONGGE.


Cicloide

Dibujar una cicloide a partir de la circunferecia ruleta de centro O y su rectificada r.

La CICLOIDE tiene una serie de propiedades realmente curiosas:
Es BRAQUISTÓCRONA y TAUTÓCRONA...¿? 
Si queréis saber lo que significa esto, no dejéis de ver este sorprendente vídeo.

Accede a la página del profesor de matemáticas autor de este vídeo para saber más sobre la CICLOIDE.



 Si quieres practicar enlazada a la imagen tienes una estupenda herramienta de EDUCACIÓNPLASTICA.NET que te ayudará a comprender mejor el trazado de esta curiosa curva cíclica.
Puedes igualmente trazar sus versiones acortada y alargada.


Luis Pérez en su web uno.618, tiene una construcciones interactivas realmente interesantes realizadas con GeoGebra.
En este enlace tenéis las de la cicloide, pero podéis acceder desde ahí a las demás curvas.


EPICICLOIDE
Curva plana (abierta o cerrada), generada por un punto interior, exterior o perteneciente a una circunferencia denominada ruleta, que rueda exteriormente y sin deslizamiento sobre otra circunferencia de tamaño variable llamada directriz. Lógicamente ambas circunferencias pueden tener diferentes relaciones entre sus radio, y en función de ésto la curva que obtendremos tendrá una forma u otra.
Para calcular la longitud del arco que recorrerá la circunferencia ruleta sobre la directriz tras una vuelta completa de la primera, existe una fórmula, que relaciona los radios de ambas: a=360º r/r´. Siendo a el ángulo central de la circunferencia directriz que determina el arco de circunferencia recorrido por la ruleta tras una vuelta.
Así, si r´=2r , el valor del ángulo central recorrido por la ruleta será de 180º. 
Pulsa sobre la imagen para acceder sobre la construcción paso a paso de la Epicicloide.


En la imagen tenéis el enlace a la aplicación de educacionplastica.net con la que podréis trazar epicicloides con distintos valores radiales, para comprobar que la curva resultante varía de forma.
Si la circunferencia DIRECTRIZ tiene el mismo tamaño que la RULETA , obtenemos una curva que denominamos CARDIODE (su forma es similar a un corazón). Si la DIRECTRIZ  mide el doble que la RULETA , la figura que obtenemos se llama NEFROIDE (se parece a un riñón).


HIPOCICLOIDE
En esta curva ruleta y directriz son, como en la EPICICLOIDE dos circunferencias. La diferencia entre ambas radica en que en éste caso la ruleta rueda dentro de circunferencia directriz.


Dependiendo de la relación entre los RADIOS de ambas, obtenemos algunas CICLOIDES SINGULARES como puede ser el caso de la HIPOCICLOIDE RECTILÍNEA (transformación del movimiento circular en rectilíneo como ocurre en el caso de la biela-manivela)
Imagen: Wikipedia (sitúate sobre ella para ver la animación)








Aquí tenéis el enlace al ejercicio en formato MONGGE



Prueba a cambiar el radio de la circunferencia ruleta y comprueba lo que ocurre. Haz clic aquí


EVOLVENTE DE LA CIRCUNFERENCIA
 Es la curva que genera un punto fijo de una recta tangente a una circunferencia que se desplaza alrededor de ella sin resbalar.

Os dejo enlazada la lámina que vamos a realizar, por si queréis repetirla.

domingo, 1 de diciembre de 2013

CURVAS TÉCNICAS

Las curvas técnicas (óvalos, ovoides y espirales) están formadas por arcos de circunferencia tangentes entre sí.


Los óvalos y ovoides son curvas planas y cerradas, ya que empiezan y terminan en el mismo punto, compuestas por cuatro arcos de circunferencia tangentes interiores dos a dos. 
Los óvalos tienen dos ejes de simetría, mientras que el ovoide (llamado así por su forma de huevo) tan solo dispone uno. Es particularmente interesante que aprendáis a construir el óvalo que sustituye a la elipse en la perspectiva isométrica, y que sería la representación en ese sistema de representación de la circunferencia.


Las espirales son curvas abiertas y planas generadas por un punto que se aleja del núcleo, aumentando constantemente su radio de giro. 


ÓVALOS


 Construcción del óvalo conocido el EJE MAYOR

Óvalo conocido el eje mayor

Construcción de un óvalo del que se conoce el eje mayor.



Aquí tenéis en formato Mongge la llave fija que os he encargado hacer y en la que se utiliza esta curva técnica. 

Tangencias: Llave fija

Dibuja la llave fija dada a escala 1:1


OVOIDES
Os dejo la construcción del OVOIDE conocido su eje mayor CD mediante una animación de Mongge.

Ovoide conocido el eje mayor

Construcción de un OVOIDE conocido su eje mayor CD=120 mm


-
Aquí os dejo los ejercicios que vamos a realizar sobre óvalos y ovoides.
ESPIRALES
-ESPIRAL DE CUATRO CENTROS

Otro tipo de espiral que ya vimos al hablar del número de oro, es la conocida como espiral áurea o de Durero y que se obtiene al subdividir un rectángulo áureo en nuevos rectángulos de forma que conserven dichas proporciones.




Aquí podéis ver como trazar el ÓVALO ISOMÉTRICO en las tres caras de un cubo o, lo que es lo mismo, en los tres planos de una isometría.

ÓVALO ISOMÉTRICO

Dibuja los tres óvalos isométricos.


Aquí tenéis los ejercicios que debéis hacer por si queréis repetirlos o perdéis la fotocopia.

REPRESENTACIÓN DEL CONO Y  EL CILINDRO EN PERSPECTIVA ISOMÉTRICA.
- Representación del cono (Mongge)
- Representación del cilindro (Mongge)
Imprime los siguientes ejercicios sobre el cono y el cilindro. Es importante que te fijes en  colocación de la escuadra y el cartabón (o del cartabón y la regla) para trazar los ejes X, Y y Z en perspectiva isométrica.



Os dejo estos dibujos, para que os ayuden a trazar las siguientes figuras de revolución (Cono, cilindro y cono truncado) y así pongáis en práctica el trazado que habéis aprendido a realizar para representar mediante un ÓVALO la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA de una CIRCUNFERENCIA sobre cualquiera de los tres PLANOS. 



Podéis modificar en este applet de GeoGebra tanto el radio de la base como la altura total del cono sin seccionar y la distancia respecto de la base a la que se da el corte. 
En este caso el plano es paralelo a la base y por eso obtenemos una nueva circunferencia, que al ser representada en perspectiva aparece como un óvalo isométrico.

Aunque lo habitual es que esas CIRCUNFERENCIAS en perspectiva formen parte de piezas más complejas.

jueves, 21 de noviembre de 2013

EJERCICIOS DE TANGENCIAS

Aquí tenéis un pequeño vídeo explicándoos una de las piezas que os dí. Contiene tangencias básicas entre rectas y circunferencias (tangente común exterior a dos circunferencias dadas) y entre circunferencias ( con un arco de circunferencia de radio conocido). Tan sólo tenéis que recordar las CONDICIONES DE TANGENCIA en ambos casos:


- En el caso de la tangencia entre rectas y circunferencias, debéis recordar que el radio que pasa por el punto de tangencia siempre es perpendicular a la recta.
- Si hablamos de tangencias entre circunferencias deberéis saber que el punto de tangencia entre ambas está en la linea que une sus centros.



Aquí os dejo resueltas en formato Mongge siete de las piezas que os encargué hacer (la octava la tenéis en el vídeo):
-Pieza 1
-Pieza 2
-Pieza 3
-Pieza 4
-Pieza 5
-Pieza 7
-Pieza 8


Si os situáis sobre la imagen veréis en funcionamiento el mecanismo piñón-cremallera (en este caso con un tornillo sin fin), que transforma el movimiento  lineal en circular y que se vale, como otros muchos, del uso de tangencias (circunferencia tangente a una recta en este caso).


Podéis encontrar tangencias igualmente en los sistemas de engranajes con cadena (tangentes comunes exteriores a dos circunferencias), y en los sistemas de poleas con correa.
Os dejo este vídeo que hice con un programa de simulación llamado Algodoo para Tecnologías de 1º de ESO, en el que reconoceréis, supongo, una pieza denominada "engranaje loco" que, al colocarse entre otros dos engranajes, se encarga de que ambos giren en el mismo sentido, sin modificar por ello su relación de transmisión.
Aquí tenéis un montón de láminas  para que realicéis piezas industriales con tangencias (algunas de ellas ya las habéis hecho).
En muchas ocasiones deberemos aplicar una escala a la hora de representar piezas industriales u otros objetos cuyo tamaño puede ser mayor o menor que el del soporte.
Tenéis una buena explicación sobre como realizar escalas gráficas en la página Dibujotécnico.com.

jueves, 14 de noviembre de 2013

TANGENCIAS Y ENLACES

El próximo tema que vamos a estudiar es el de TANGENCIAS Y ENLACES centrándonos en los casos más básicos.
Una vez que sepamos hacerlas, realizaremos una serie de piezas que las contienen.
Os dejo una presentación en la que vais a encontrar los casos más relevantes explicados paso a paso. 
Tema 5 Tangencias Y Enlaces

Ana Isabel Sánchez tiene una serie de vÍdeos sobre tangencias realmente interesantes. Si quieres verlos PULSA AQUÍ
TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
Rectas tangentes a una circunferencia que pasen por un punto exterior P: Resolución paso a paso.
Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias.
Para resolver este ejercicio vamos a reducirlo a uno más sencillo que es el que hemos visto antes, es decir, hallar las rectas tangentes a una circunferencia pasando por un punto exterior P. Para ello, restamos el radio de la circunferencia de menor tamaño a la de mayor radio (ojo hay que restarlo desde un punto de la circunferencia mayor). Si trazamos las rectas tangentes a la circunferencia resultante desde O2 obtendremos dos rectas paralelas a las soluciones que buscamos.
Rectas tangentes comunes interiores a dos circunferencias.
En este caso deberemos sumar a la circunferencia mayor el radio de la menor, para obtener las tangentes solución como paralelas a las trazadas a la circunferencia de radio la suma de los de las dos circunferencias desde el centro-punto O2 (volvemos a simplificar el ejercicio para trabajar con el primero de los supuestos).
Os dejo estos tres ejercicios también en formato Mongge.

TANGENTES COMUNES EXTERIORES E INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

Tangentes comunes exteriores e interiores a dos circunferencias


A veces se nos puede dar el caso de que necesitemos trazar la recta tangente a un arco de centro inaccesible. Puede resolverse de la siguiente forma.

Tangente a un arco de circunferencia de centro inaccesible.

Trazado de la recta tangente a un arco de circunferencia por un punto T, siendo el centro de dicho arco inaccesible.

 Aquí tenéis resueltos en formato MONGGE los casos más importantes de TANGENCIAS Y ENLACES BÁSICOS.
-Tangencias básicas entre rectas y circunferencias (conocido el radio de la circunferencia)
-Tangencias básicas entre rectas y circunferencias (desconociendo el radio)
Dos de estos tres ejercicios os los dejo también en formato GeoGebra. El tercero lo hicimos también cuando vimos el incentro de un triángulo y los exincentros de las circunferencias exinscritas.
-
Y en el vídeo tenéis resuelto otro de los ejercicios que vamos a realizar.
TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS
El punto de tangencia entre dos circunferencias está en la línea que une sus centros.
-Tangencias entre circunferencias 
-Circunferencias tangentes a otras dos (es el ejercicio que tenéis debajo en la construcción de GeoGebra).
-Circunferencias tangentes a otras dos II


ENLACES
-Enlaces
-Enlaces sobre una línea poligonal quebrada


TANGENCIAS SECUNDARIAS
Aquí tenéis los enlaces para acceder a los ejercicios en formato Mongge:
- Circunferencias del mismo radio tangentes entre sí y a los lados de un triángulo equilátero.
n circunferencias tangentes entre sí y a su vez tangentes a otra (en este caso 8).

TANGENCIAS POR HOMOTECIA
Tenéis los ejercicios enlazados a las dos imágenes.

Aquí tenéis resuelto el primero de los ejercicios en formato Mongge.
Y en este otro enlace tenéis la solución del segundo.
Aparte de los ejercicios que ya os he dado, haremos estos otros en clase (os los dejo enlazados por si los queréis repetir):
-Tangencias básicas (fundamentos).

Enlazada a la imagen tenéis una estupenda aplicación flash de Jose Antonio Cuadrado, que trata el tema de forma interactiva, con ejercicios que podéis realizar desde la propia aplicación. Cuenta también con ejercicios de evaluación adaptados a distintos niveles, así como apuntes.

sábado, 9 de noviembre de 2013

HOMOTECIA

La HOMOTECIA es una transformación geométrica en el plano en la que, dado el centro de homotecia O y una razón de homotecia K0 que puede ser positiva + o negativa -, a todo punto A le corresponde otro punto A´, alineado con el centro de homotecia O, cumpliéndose que OA´/OA= k.
Se trata de una transformación ISOMÓRFICA dado que la figura que obtenemos tras su aplicación tiene la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño. La transformación puede ser así mismo DIRECTA (se conserva el sentido del plano), si K>0  o INVERSA (la figura homotética no conserva el sentido del plano de la original), si K<0.


  • Si los puntos A y A´están al mismo lado de O la homotecia es directa o positiva
  • Si los puntos A y A´están a ambos lados de O la homotecia es inversa o negativa
  • Si K=1 y el centro de Homotecia es propio, tenemos una identidad, donde A=A´.
  • Si K=-1 la homotecia se transforma en una simetría central (o un giro de 180º)
Prueba a modificar, con el deslizador K, la razón de homotecia, así como la forma y la posición tanto de la figura plana original como la situación del centro de homotecia para comprender mejor este concepto.
Comprueba que los segmentos homotéticos son paralelos y que los puntos homotéticos están siempre alineados con el centro de homotecia.


Anabel Sánchez (Profesora de Dibujo Técnico en el SEK) tiene una serie de vídeos muy interesantes con los que podréis comprender mejor este concepto.




 Aquí tenéis una aplicación práctica: Se nos pide hallar la figura homotética de la que me dan, se trata de un hexágono regular y el centro O de homotecia está situado en el exterior de la figura. La figura homotética resultante será de menor tamaño que el hexágono original dado, ya que K=2/5. Puesto que la razón K es positiva el hexágono resultante estará entre el que me dan y el centro de homotecia.


Aquí vemos un caso de HOMOTECIA NEGATIVA o INVERSA. El centro de homotecia O, quedará entre las dos figuras: la dada y la resultante. Dado que K=-2 la figura resultante tendrá el doble de tamaño que la original y sentido contrario. O estará entre ambas figuras.
OA´=2OA´



Aquí tenéis otro caso de homotecia negativa o inversa, en la que además el centro de homotecia es un vértice del polígono.



Y un ejercicio más de HOMOTECIA POSITIVA, pero con la peculiaridad de que el centro de homotecia está en el centro del polígono.
Aquí os dejo algunos de los ejercicios que os he planteado resueltos.
Recordad que la HOMOTECIA es un tipo especial de semejanza entre figuras, de forma que los vértices de la figura original y su transformada están alineados con un punto denominado centro de homotecia.
Los lados de ambas figuras deben ser además paralelos entre sí, tanto si la homotecia es positiva como si es negativa.
EJERCICIOS
El ejercicio que tenéis aquí resuelto es el de los que os he propuesto:

HALLA LA FIGURA HOMOTÉTICA A PARTIR DE DE LOS PUNTOS TRANSFORMADOS

...



 Os dejo también el   nº 5,  ejercicio 15, el nº 30 y el ejercicio nº 32
Del  ejercicio 14 os dejo la solución también en formato Mongge.

FIGURA HOMOTÉTICA (homotecia inversa)

Halla el cuadrado homotético del dado, en una homotecia de centro en O y razón K=-2/3

El ejercicio 30 lo tenéis también como una construcción de GeoGebra. 
También el número 32.
Os dejo también resuelto el ejercicio 26. Observad que la distancia AB, siempre es el doble que la distancia AC aunque cambie la posición del punto A o la de las rectas.

Aqui tenéis el ejercicio 36 resuelto igualmente con GeoGebra.
Si lo queréis en formato Mongge, lo tenéis aquí.

El ejercicio número 4 es algo más complicado, dado que se trata de un ejercico de homotecia en el que se nos pide que tracemos una figura plana semejante a la anterior pero con un área 3 veces mayor. La razón de homotecia entre áreas equivale a la √  del número que nos den, en este caso 3.
Lo tenéis resuelto con GeoGebra y enlazado a la imagen. Recordad que para hallar la raíz cuadrada de un número utilizábamos el Teorema de la altura.

HOMOTECIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS
Como podéis comprobar en este applet los centros de homotecia entre circunferencias están alineados con los centros de éstas. Los radios homotéticos son paralelos entre sí.
El centro de homotecia directo coincide con el punto de corte de la tangente común exterior con la línea de centros y el centro de homotecia inverso con el punto de intersección de dicha línea con la tangente común interior de ambas circunferencias.


Aquí tenéis resuelto en formato Mongge el ejercicio en el que se nos pide determinar los centros de Homotecia directa e inversa de dos circunferencias (ej 13).

HOMOTECIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS


Algunos ejercicios de tangencias pueden resolverse también mediante una Homotecia como el que tenéis a continuación.

Y aquí tenéis el ejercicio 39. Se trata de un ejercicio  algo más difícil que los anteriores.
Mientras me animo a hacer un nuevo video con las construcciones de GeoGebra os dejo éste que hice hace un par de años. Dado que ya hemos hecho los ejercicios en clase os servirá, espero, para repasarlos de cara al examen.

miércoles, 6 de noviembre de 2013

GIROS:EJERCICIOS DE APLICACIÓN

A pesar de que realizar un giro es relativamente sencillo, es difícil sin embargo "ver" en que ocasiones un ejercicio de transformaciones geométricas debe resolverse mediante un giro.
Os dejo uno de los que vamos a realizar sobre papel, en formato Mongge, para que podáis ver el procedimiento por pasos. Se trata del ejercicio nª 11.

Como podréis ver se puede resolver de dos formas:
 En la primera de ellas giraremos la circunferencia 60º, y en la segunda, que os dejo enlazada giraremos la recta el mismo ángulo. El centro de giro será el punto A, que es a su vez uno de los vértices del triángulo equilátero que me piden (hay dos posibles soluciones).

GIROS

Dibuja los posibles triángulos equiláteros que teniéndo el punto A como uno de sus vértices tienen otro apoyado sobre la recta dada y el tercero sobre la circunferencia.


Aquí tenéis el enlace al segundo método para resolver el ejercicio.
Os dejo igualmente un Applet de GeoGebra con este ejercicio para que podáis "manipular" la construcción y modificar los datos iniciales. Aquí tenéis resuelto otro ejercicio de giros que presenta también cierta dificultad.
Se trata en este caso de dibujar los posibles cuadrados que tienen dos de sus vértices apoyados sobre las rectas dadas, conociendo además uno de ellos.
 Existen múltiples variantes de este ejercicio, ya que se os pueden dar dos rectas paralelas, o bien pediros  un triángulo equilátero en vez de un cuadrado.
Tened en cuenta que si las rectas son paralelas las dos soluciones posibles tendrán el mismo tamaño, y que si las rectas son convergentes el tamaño será diferente, tanto en el caso del cuadrado como del triángulo.

CUADRADO APOYADO SOBRE DOS RECTAS CONVERGENTES (giro)

...


Para que podáis comprender mejor como funcionan este tipo de ejercicios os he preparado un Applet de GeoGebra, para que podáis modificar los parámetros y comprobar como en todos los casos podemos conseguir dos triángulos equiláteros apoyados sobre ambas rectas tras girar una de ellas 60º tomando como centro de giro el vértice A, hasta que ésta se corte con la otra en otro de los vértices, con lo que contaré ya con el lado del triángulo equilátero.
Probad a situar el punto A en otro lugar o cambiad la inclinación de las rectas, para comprobar que el resultado se mantiene (varía el tamaño de los triángulos, pero siguen siendo equiláteros).
Es interesante también que comprobéis que el resultado es el mismo tanto si giramos la recta r como si lo hacemos con s. (Tenéis el ejercicio enlazado a la imagen)

Debajo tenéis otra construcción pero en este caso lo que se nos pide trazar no es un triángulo, sino un cuadrado con un vértice apoyado sobre cada recta y el tercero en A, con lo que el giro deberá hacerse de 90º que es el ángulo que existe entre dos vértices consecutivos del polígono (en el caso del triángulo, éste era de 60º).


Aquí tenéis otro ejercicio de aplicación del mismo concepto.

lunes, 21 de octubre de 2013

EQUIVALENCIAS



Decimos que dos superficies planas son equivalentes cuando tienen distinta forma e igual área.
En el caso de la imagen podemos apreciar que los tres triángulos tienen la misma base y la misma altura.
Dado que el área de un triángulo equivale al producto de la base por la altura, podemos asegurar que en los tres casos la superficie es la misma.


Podemos obtener también un rectángulo equivalente a un triángulo.
Éste tendrá la misma base y la mitad de la altura del triángulo, ya que el área de ambos será              base x altura/2
Las figuras están coloreadas así para que podamos apreciar su equicomposición, es decir, las formas  de las que están compuestas ambas son las mismas.

Podemos con facilidad eliminar un lado de un polígono ya que los triángulos son equivalentes si manteniendo su base, su altura no se modifica.
De esta forma podemos eliminar uno o más lados de cualquier polígono, hasta convertirlo si así lo deseamos en un triángulo equivalente al polígono de partida.


CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO
Si queréis hallar el cuadrado equivalente a un rectángulo determinado debéis determinar previamente el segmento media proporcional de otros dos (los lados del cuadrado). Para ello deberemos utilizar el teorema del cateto o como en este caso el teorema de la altura. Aquí tenéis el ejercicio resuelto paso a paso con MONGGE.

CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO

Halla el cuadrado equivalente al rectángulo dado.


CUADRADO EQUIVALENTE A UN CUADRILÁTERO
En cuanto al método para convertir un cuadrilátero cualquiera en un cuadrado equivalente, pasa por descomponer el cuadrilátero en dos triángulos de lado común (una de las diagonales del cuadrilátero). Y una vez hallado el rectángulo equivalente al cuadrilátero, estaremos en el caso anterior.

CUADRADO EQUIVALENTE A UN CUADRILÁTERO

Halla un cuadrado equivalente al cuadrilátero dado.




CUADRADO EQUIVALENTE A UN CÍRCULO
Para realizar este ejercicio debemos saber rectificar la semicircunferencia. De esta forma tendríamos el valor de πr.




Existen varios métodos para realizar la rectificación de una circunferencia. El método que os muestro aquí permite rectificar de una forma muy sencilla la semicircunferencia (ojo con esto, si quisiéramos hallar el valor de la rectificación de la circunferencia deberíamos multiplicar por dos el resultado). La rectificación de una semicircunferencia equivale a la suma de los lados del cuadrado y del triángulo inscritos en ella.



Para hacer los ejercicios en papel imprime esta lámina.

EJERCICIOS MÁS COMPLEJOS:
Aquí tenéis la solución a un ejercicio sobre equivalencias que salió en Selectividad en Murcia en el 2001. Se trata de un ejercicio algo más complejo que los que hemos hecho hasta ahora, pero probablemente tras ver el vídeo no os lo parecerá tanto.
Otro posible ejercicio es el que os propongo a continuación. Se trata de trazar el triángulo equilátero equivalente a un cuadrado determinado.

TRIÁNGULO EQUILÁTERO EQUIVALENTE A UN CUADRADO DE LADO CONOCIDO


Y aquí os dejo otro ejercicio parecido que apareció en la PAU de Murcia en el 2003.

Cuadrado equivalente a la superficie rayada de la figura.

Determina el cuadrado equivalente a la zona rayada de la figura.

domingo, 22 de septiembre de 2013

OPERACIONES CON SEGMENTOS

Con este applet vais a poder ver como multiplicar y dividir segmentos, así como hallar la tercera , la cuarta proporcional y también la media proporcional de dos segmentos (éste último concepto lo ampliaremos más adelante cuando veamos los teoremas de la altura y del cateto).
Os lo dejo enlazado, porque en esta ocasión es de un tamaño mucho mayor. Tan solo  tenéis que hacer clic sobre la imagen para acceder a la construcción.
Imprime la lámina que vamos a realizar.

martes, 28 de mayo de 2013

PLANO PERPENDICULAR A OTROS DOS


Para que un plano sea perpendicular a otros dos, deberá ser perpendicular a la recta intersección de los dos primeros (recordad que si una recta y un plano son perpendiculares, esa perpendicularidad  se reflejará en sus proyecciones).

PLANO PERPENDICULAR A OTROS DOS

Traza el plano que conteniendo al punto P es perpendicular a los dos dados.

Os dejo un vídeo de aitoreche, en el que resuelven este mismo ejercicio de otra forma.
 En este caso, en vez de hallar la recta intersección de ambos planos, se hacen  pasar por el punto, dos rectas perpendiculares cada una de ellas a uno de los dos planos dados, y finalmente se determina el plano uniendo las trazas homónimas de ambas rectas.
AQUÍ lo tenéis resuelto en Mongge con los mismos datos que en el caso anterior, de forma que comprobéis que el resultado en ambos casos es el mismo.
Vosotros decidís de que forma os resulta más cómodo realizar el ejercicio o como lo entendéis mejor.

PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS


Dos planos serán perpendiculares entre sí, si uno de ellos contiene una recta perpendicular al otro plano.
Si lo que queremos es trazar un plano perpendicular a otro conteniendo un punto, deberemos hacer pasar por dicho punto una recta perpendicular a dicho plano para determinar las trazas del plano buscado.

PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS

Traza dos planos (de los infinitos existentes) que conteniendo al punto A sean además perpendiculares al plano dado.

 Si además me piden que uno de los planos contenga a una recta, deberemos recordar que dos rectas que se cortan definen un plano. Si además una de ellas es perpendicular al otro plano, el plano que determinen también lo será.
AQUÍ está el ejercicio resuelto (13.1)
Otro de los ejercicios que vamos a ver consiste en el trazado del plano que pasa por la Línea de Tierra y que es perpendicular a otro paralelo a ella.(13.3)

viernes, 24 de mayo de 2013

DISTANCIA PUNTO-PLANO

La determinación de distancias es la aplicación más usual de la perpendicularidad.
 En el siguiente ejercicio hallaremos dicha distancia tan sólo en proyecciones, aunque lo realmente interesante será hallar la verdadera magnitud de dicha distancia (ese será el siguiente concepto que aprenderemos).
Tenéis el ejercicio en dos formatos. En el caso del vídeo está explicado paso a paso, pero os lo subo también en formato MONGGE para que podáis verlo al ritmo que queráis.

Distancia de un punto a un plano

Determina (en proyecciones) la distancia existente entre el punto A y el plano dado.


 Os enlazo otro ejercicio similar a éste. En este caso el plano es paralelo a la Línea de Tierra con lo cual la distancia entre el punto y el plano se verá en Verdadera Magnitud en el plano de perfil. AQUÍ tenéis el ejercicio resuelto.
EJERCICIO 12.2

sábado, 11 de mayo de 2013

SECCIÓN: PIRÁMIDE RECTA POR PLANO OBLICUO

Este ejercicio podríais resolverlo ya, realizando la intersección de un plano oblicuo con las aristas de la pirámide que son a su vez rectas oblicuas (utilizando para ello planos proyectantes).
Por si no recordáis como hacerlo aquí tenéis el método.

El próximo año utilizaréis un método que simplifica la resolución del ejercicio y que consiste en aprovechar la relación de homología que existe entre la base y la sección producida por el plano secante (es el que he usado en este caso).
 Comprobad que los lados de la base y de la sección convergen al prolongarlos, en puntos dobles situados sobre la traza horizontal del plano.
Imprime ésta lámina y realiza las intersecciones de pirámide y prisma con sendos planos oblicuos.

jueves, 2 de mayo de 2013

FIGURA PLANA CONTENIDA EN UN PLANO PARALELO A LA LT

 Utiliza los puntos para modificar la forma de la figura plana y los deslizadores para variar la inclinación del plano paralelo a la Línea de Tierra.
Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com